集合符号 - 概率事件关系的简洁表达
在概率中，集合符号用于简洁描述事件关系，核心符号及含义如下：
独立事件：若A、B独立，则 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
互斥事件：若A、B互斥，则 \( A \cap B = \emptyset \)，\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
补集关系：概率满足 \( P(A') = 1 - P(A) \)
集合符号可以清晰表达复杂的事件关系：
第一定律：\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
第二定律：\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
应用：简化复杂事件的概率计算
题目：掷一个骰子，事件A：得到偶数，事件B：得到大于3的数。用集合符号表示：
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A'
d) (A ∪ B)'
步骤1：确定事件
• A = {2, 4, 6}（偶数）
• B = {4, 5, 6}（大于3）
步骤2：计算集合运算
• a) \( A \cap B = \{4, 6\} \)（既是偶数又大于3）
• b) \( A \cup B = \{2, 4, 5, 6\} \)（偶数或大于3）
• c) \( A' = \{1, 3, 5\} \)（非偶数）
• d) \( (A \cup B)' = \{1, 3\} \)（既不是偶数也不大于3）
题目：从一副扑克牌中抽一张，事件A：抽到红桃，事件B：抽到A。用德摩根定律计算 \( P((A \cup B)') \)。
步骤1：应用德摩根定律
• \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
• 即：既不是红桃也不是A
步骤2：计算概率
• \( P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
• \( P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
• \( P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
• \( P(B') = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13} \)
• \( P(A' \cap B') = \frac{3}{4} \times \frac{12}{13} = \frac{36}{52} = \frac{9}{13} \)
掷两个骰子，事件A：第一个骰子得到6，事件B：第二个骰子得到6，事件C：两个骰子点数之和为7。
用集合符号表示以下事件：
a) 至少有一个骰子得到6
b) 两个骰子都得到6
c) 第一个骰子得到6但第二个不是6
d) 两个骰子都不是6
e) 第一个骰子得到6或两个骰子点数之和为7
答题区域：
某班级50名学生中，30人喜欢数学，25人喜欢英语，15人两门都喜欢。
设事件A：喜欢数学，事件B：喜欢英语。
a) 用德摩根定律计算不喜欢数学也不喜欢英语的学生概率
b) 用德摩根定律计算不是两门都喜欢的学生概率
c) 验证德摩根定律的正确性
答题区域：
从1到10的数字中随机选择一个，事件A：选择偶数，事件B：选择质数，事件C：选择大于5的数。
用集合符号表示以下事件：
a) 选择偶数质数
b) 选择偶数或质数
c) 选择既不是偶数也不是质数
d) 选择偶数但不是质数
e) 选择大于5的偶数质数
答题区域：
解答过程：
事件定义：
• A：第一个骰子得到6
• B：第二个骰子得到6
• C：两个骰子点数之和为7
集合符号表示：
• a) 至少有一个骰子得到6：\( A \cup B \)
• b) 两个骰子都得到6：\( A \cap B \)
• c) 第一个骰子得到6但第二个不是6：\( A \cap B' \)
• d) 两个骰子都不是6：\( A' \cap B' = (A \cup B)' \)
• e) 第一个骰子得到6或两个骰子点数之和为7：\( A \cup C \)
解答过程：
事件概率：
• \( P(A) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \)
• \( P(B) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \)
• \( P(A \cap B) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} \)
a) 德摩根定律计算：
• \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
• \( P(A') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \)
• \( P(B') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
• \( P(A' \cap B') = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \)
b) 德摩根定律计算：
• \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
• \( P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)
c) 验证：
• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{4}{5} \)
• \( P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \) ✓
解答过程：
事件定义：
• A = {2, 4, 6, 8, 10}（偶数）
• B = {2, 3, 5, 7}（质数）
• C = {6, 7, 8, 9, 10}（大于5）
集合运算：
• a) 偶数质数：\( A \cap B = \{2\} \)
• b) 偶数或质数：\( A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \)
• c) 既不是偶数也不是质数：\( A' \cap B' = \{1, 9\} \)
• d) 偶数但不是质数：\( A \cap B' = \{4, 6, 8, 10\} \)
• e) 大于5的偶数质数：\( A \cap B \cap C = \{2\} \cap \{6, 7, 8, 9, 10\} = \emptyset \)